Arte Geométrica

¿HAS VIST ALGUNA VEGADA COM ENRAJOLEN UNA SUPERfÍCIE?¿SAPS QUINES FORMES UTILITZEN?

Un mosaic o teselació és una obra composada de pedres, terracota o vidres de diversos colors.  En ells una sèrie de figures s'ajusten perfectament a les seus veïnes per a cobrir completament una superfície sense deixar forats ni produir solapaments.

 El terme teselació prové del llatí tessellae que era el nom que donaven els romans a les xicotetes rajoles utilitzades als paviments. i murs en l'antiga Roma. Els romans i altres pobles mediterranis han realitzat dissenys amb xicotetes pedres. Per als àrabs, la construcció de mosaics  ha segut una tasca important. Han fet del mosaic un motiu d'estudi,  tant artistes com matemàtic.

Els frisos, mosaics i decoracions geomètriques de l ‘art hispano-musulmà constitueixen una de las manifestacions més espectaculars de la geometria en l’ Art. 

 Un altre gran geni, el pintor M.C. Escher, utilitza la tècnica d’omplir  el pla amb motius animats d’’ una forma sorprenent i inquietant..

També apareixen mosaics de forma natural en algunes superfícies cristal·lines en moltes estructures cel·lulars. Les abelles utilitzen l’Hexàgon regular per tal de construir La natura utilitza a més a més, la combinació de diverses formes geomètriques en moltes ocasions, com en les pel·lícules de sabó.

 Aquesta tècnica de cobrir el plànol es pot vore en els enrajolamens, en rajoles de ceràmica, en les celosies dels murs, en les vidrieres i en alguns dissenys industrials.

 Activitat::

Observa mosaics que trobes en edificis, tanques, ceràmica, dissenys.. Fes esbossos d'ells.  

ENCAIXAMENT DE POLÍGONS

 Polígons que encaixen en un vèrtex
Sis triangles equilàters encaixen en un vèrtex. ¿Per què?

L'angle interior d' un triangle equilàter és de 60º.

60ºx 6 =360º

Per tal que uns polÍgons encaixen en un vèrtex cal que els angles interiors

dels vèrtexs que concorren en ell sumen 360º.

Quatre triangles encaixen en un vèrtex perque 4 x 90º= 360º.

Tres hexàgons encaixen en un vèrtex perquè 3 x 120º= 360º

Els octògons regulars no encaixen en un vèrtex perque l' angle interior d' un octògon regular és 135º. Si posem dos octògons regulars tenim :

135º + 135º= 270º

i si em posem tres tenim:

135º + 135º+135º=405º

El triangle equilàter, el quadrat i l' hexàgon regular són els

únics polÍgons regulars que poden encaixer en un vèrtex

Combinació de oolígons que encaixen en un vèrtex:

Perquè triangles equilàters i quadrats encaixen en un vèrtex cal que els angles interiors dels vèrtexs que hi concorren sumen 360º.

60º+60º+90º+60º+90º=360º.

ACTIVITATS:

Visita les Webs indicades i experimenta amb elles

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/CreaMosaicos/Mosaicos.htm

http://www.xtec.cat/~rmasip1/GEOME/NODE29.htm#478

INTRODUCCIÓ

DESCRIPCIÓ DEL PROJECTE:

Està dirigida a l'de alumnat de segon cicle d'ESO Es tracta d'una pàgina web per al Coneixement i la Investigació dels mosaics cap a les matemàtiques. Preten: Ser un  espai motivador. Un complement a les activitats de la classe. Completar els continguts explicats realizant les activitats i els enllaços proposades visitant els enllaços  WEB. Permetre la Investigació. Objectius genera: Fomentar la i la Investigació Creatiu. Desenvolupar la imaginació utilitxant.elements geométrics Descobrir les propietats dels mosaicos i dels recobriments del plal. Desenvolupar el.  pensament lógic.

CONCEPTE

Concepte de mosaic matemàtic:

Hem vist que podem encaixar triangles equilàters i amb ells anar recobrint tot el pla.

Un mosaic és la construcció geomètrica que resulta de descobrir el pla sense deixar buits,  amb una o diverses classes de polígons iguals.

En un mosaics tots els vèrtexs han d' estar formats per encaixaments de polígons. Si amb una figura  pot formar mosaic es diu que recobreix el pla.

S' anomena motiu mínim la figura mínima que es repeteix en aquest recobriment i vèrtex del mosàic cadascun dels vèrtexs d' aquesta figura.

 Són mosaics matemàtics donat que el motiu mínim és un polígon.

Polígons regulars que no poden formar mosaic:

Perquè una classe de polígons formen mosaicc es necessari que encaixen en un vèrtex.

Els pentàgons regulars  no encaixen en un vèrtex. Tampoc ho fan els octògons.

La combinació de triangles i octògons regulars tampoc no encaixa en un vèrtex i tampoc no forma mosaic.

ACTIVITAT:

Agafa  aquestos polígons regulares , investiga i raona perquè no encaixen.

MOSAICS REGULARS

http://www.youtube.com/watch?v=4Wa_vIIp6ds&feature=player_embedded

MOSAICS REGULARS

DEFINICIÓ:

Un mosàic regular és un mosaic que resulta de recobrir el pla amb polígons regulars identics.

ELS TRES MOSAICS REGULARS El que té com a  polígon mínim un triangle equilàter. El que té com a polígon mínim un quadrat. El que té com a polígon mínim un hexàgon regular. Els angles interiors: Triangle equilàter: 60º   6 x  60º=  360º Quadrat: 90º   4 x   90º  =   360º Hexàgon regular: 120º       3 x  120º =  360º Els altres polígons regulars no emmosaiquen, ja que  cap multiple de la mesura dels angles interirs no por fer 360º. Pentàgon regular: 108º.  3 x 108º =  324   4 x 108º =  432º. L' angle interior dels polígons regulars creix quan el nombre de costats també ho fa i sabem que l' angle interior d' un hexàgon regular és 120º. Els polígons regulars de  set o més costats tenen l'angle interior de més de 120º. A més a més el seu angle interior sempre és menor de 180º i , com a conseqüència  fan falta més de dos polígons per encaixar en cada vèrtex. Tres o més angles de 120º sumen més de 360º i, per tnt, no poden encaixar en un vèrtex i formar mosàic ACTIVITATS: 1.-Experimenta amb els applets de la WEB: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/teselacion/Mosaicos_Regulares.htm 2.- ¿L'angle interior d'un polígon regular sempre és menor de 180º?¿Pots demostrar-ho? 3.-  ¿Quan augmenta el nombre de costats d' un polígon regular, també augmenta el seu angle interior?

MOSAICS SEMIREGULARS

DEFINICIÓ:

Un mosaic semi-regular és un mosaic que està format per dos o més tipus de polígons regulars amb la condició que, en tot el mosaic, els mosaics formats en unir els punts mitjans de les arestes confluents en un mateix vèrtex siguen del mateix tipus.

ELS HUIT MOSAICS SEMIREGULARS

ACTIVITATS:
1.- Experimenta amb els Appels de la Web: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/teselacion/Mosaicos_semiregulares.htm 

2.- Intenta recobrir el plà combinant els hexàgons regulars i els triangles equilàters. ¿És posible recobrir el pla combinant hexàgons regulars i quadrats? 

3.- Experimenta amb altres polígons regulars. ¿Amb quina combinació de polígons es pot aconseguir i amb quina no?.

MOSAICS DUALS

DUALITAT EN ELS MOSAICS REGULARS:

Direm que dos mosaics són duals l'un de l'altre si, en unir els centres dels polígons regulars que els formen s'obté l'altre.

EL MOSAIC REGULAR FORMAT PER TRIANGLES EQUILATERS I EL FORMAT PER HEXAGONS REGULARS SÓN DUALS D'UN DE L'ALTRE.

EL MOSAIC REGULAR FORMAT PER QUADRATS ÉS DUAL D'ELL MATEIX.

CONSTRUCCIÓ: 1.- Partim del l mosaic regular format per triangles equilàters , dibuixem els seus centres. Unim els centres dels triangles que cmpartixen aresta, obtenim el mosaic regular format per hexàgons regulars. 2.- Partim del mosaic regular format per hexàgons regulars i dibuixem els seus centres. Unim els centres del hexagons que comparteixen arest, obtenim el mosaic regular format per triangles equilaters. 3.- Considerem els mosaic regular format per quadrats i dibuixem els seus centres. Unint els centres dels quadrats que comparteixen aresta, obtenim el mosaic regular format per quadrats.